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数学竞赛与学科拓展
作者:黄锦华 文章来源:本站原创 点击数:1374 更新时间:2014/5/24 9:26:54

一、   课程目标、意图

1.培养学生对数学的兴趣,激励学生学好数学的积极性,对学有余力的学生,充分发展他们的数学才能。同时为数学竞赛的选拔做准备。

2.通过对奥赛各种解题方法的探索、研究,培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力,要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时,重视培养学生的独立思考和自学的能力。使学生养成良好的思维习惯,提高应用数学的意识,感受数学各方面的价值。

3.了解奥赛解题的常用方法及其作用。掌握探索法在分析题目,解决问题中的应用。

二、        课程内容与活动安排

1. 导论(0.5课时)

2. 数学竞赛常用的6种解题方法之探索法

1)探索常从熟悉的地方开始(0.5课时)

2)探索常从简单的情形入手(0.5课时)

3)探索常从考虑极端情形着手(0.5课时)

4)探索常从不断减少目标着手(0.5课时)

5)探索可从改变情形着手(0.5课时)

6)探索可从变更问题着手(1课时)

7)探索可从美学角度考虑(0.5课时)

8)探索须充分利用已有信息(0.5课时)

9)解题尝试与讲评(2课时)

3. 其他解题方法与解题思想的探究,交流(1课时)

三、        课程实施说明

组织形式:教师主讲,学生参与讨论

班级规模:50人左右

场地:  高二十五班教室

课时:  8课时

四、        考试评价说明

平时出勤,作业和课堂学习表现占70% 。课程结束时完成一份一次开放性测试作业,考察学生应用所学知识与方法解决问题的能力,占最终成绩的30%。

 

第一讲 探索常从熟悉的地方开始

教学目标:

了解奥赛解题的常用方法。学会从熟悉的地方开始探索解题方法

教学方式:教师主讲,学生参与讨论。

教学要点:

1. 导论

◇ 数学竞赛常用的6种解题方法

  1)探索法;

2)化归法;

3)转换法;

4)设想法;

5)构造法;

6)数学归纳法。

2. 探索法介绍

解数学题往往需要探索,解数学竞赛题更加需要探索。竞赛中的问题往往没有固定的套路可以依循,需要根据题设中的信息启动自己的头脑,运用智力自己去尝试、去找路就是进行探索,。探索法是求解数学竞赛题的重要方法之一。

3. 探索法(一):探索常从熟悉的地方开始

12004年全国高中联赛题)设锐角 使关于x的方程 有两个相等实根,则 的弧度数为(  

A.      B.     C.      D.

分析:本题应从“关于x的二次方程有两个相等实根,则判别式为0,这一熟悉的地方入手,再进行化简即得。

答案:B

22004年全国高中联赛题)

在平面直角坐标系xOy中,函数

在一个最小正周期长的区间上的图像与函数 的图像所围成的封闭图形的面积是_______________.

分析:先运用辅助角公式,化为y 熟悉的形式,再进一步探索。

答案:

作业布置:1.复习整理讲过内容;

2.预习下节课内容,尝试探索下节课例题。

 

第二讲  探索常从简单的情形入手及探索常从考虑极端情形着手

教学目标:学会从简单的情形入手及从考虑极端情形着手探索解题方法。

教学方式:教师主讲,学生参与讨论。

教学要点:

1.探索法(二)探索常从简单的情形入手

32004年全国联赛题)设函数 ,满足 ,且对任意xy,都有 ,则 ________

分析xy分别取最简单的情形01,代入进行探索。

答案:. x+1

42004年全国女子数学奥林匹克题)设abc为正实数,求:

的最小值。

分析:若分母为单项式,分式便很容易分离,情形会较简单,故三个分母用换元法分别令为xyz后进行探索。

答案:

2. 探索法(三)探索常从考虑极端情形着手

52003年全国高中联赛题)删去正整数数列123…中的所有完全平方数,得到一个新数列,这个数列的第2003项是(  

A. 2046        B.2047     C.2048   D. 2049

分析:考虑平方接近2003的极端情况,即可推出删去了几项。

答案:C

 

6设至少有四项的数列 的前n项的和 ,试问这个数列 是一个什么数列?并说明理由。

分析:探究前几项的极端情况,猜测出规律,再用数学归纳法证明。

答案:从第二项起构成等差数列。

作业布置:1.复习整理讲过内容;

2.预习下节课内容,尝试探索下节课例题。

 

第三讲  探索常从不断减小目标差着手及探索可从改变形式着手

教学目标:

学会从不断减小目标差着手及从改变形式着手探索解题方法。

教学方式:教师主讲,学生参与讨论。

教学要点:

1.              探索法(四)探索常从不断减小目标差着手

72004年全国高中联赛题)顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,B是底面圆内的点,O为底面圆的圆心,ABOB,垂足为BOHPB,垂足为H,且PA4CPA的中点,当三棱锥O-HPC的体积最大时,OB的长为( 

A.      B.    C.      D.

分析:选择最佳的底面与高,使得其中一个为定值,即可通过降维减小目标差。

答案:D

 

82003年北京市竞赛题)已知xy是正实数,且满足xyxy71 ,则 _________________.

分析:转化为求xyx+y,以此减小目标差。

答案:1462993

 

2.     探索法(五)探索可从改变形式着手

9(2000年河北省竞赛题) ,则 的最小值为_________________.

分析:通过配方,知方程表示圆。法一:改变圆的方程的形式,化为参数方程,转化为三角函数来求解。法二:改变目标函数的形式,看成动点与定点连线斜率的倒数,再数形结合进行求解。

答案:

作业布置:1.复习整理讲过内容;

2.预习下节课内容,尝试探索下节课例题。

 

1049 4489 444889 ,…,

能否有

分析:改变等式左边的形式,通过不断变形,配成完全平方即可。

答案:能。

 

第四讲  探索可从变更问题着手

教学目标:学会从变更问题着手探索解题方法。

教学方式:教师主讲,学生参与讨论。

教学要点:

1.     探索法(六)探索可从变更问题着手

11(2004年全国高中联赛题改编)已知

。若对于所有 ,均有 ,则b的取值范围是________________

分析:先把“ ”变更为两集合表示的图形有公共点,再进一步把问题变更为集合N表示的直线过一定点,这个定点在圆内或圆上。

答案:

 

122004年湖南省竞赛题)一台计算机装置的示意图如图所示,

A,B表示数据入口,C是计算结果的出口。计算过程是由A,B

m

A

B

n

C

k

分别输入自然数mn,经过计算后得自然数kC输出。若此种装置满足以下三个性质:

1、              A,B分别输入1,则输出结果1

2、              A输入任何固定自然数不变,B输入自然数增大,则输出结果比原来增大2

3、              B输入1A输入自然数增大1,则输出结果为原来的2倍。

试问:

(1)A输入1B输入自然数n,则输出结果为多少?

(2)B输入1A输入自然数m,则输出结果为多少?

(3)A输入自然数2002B输入自然数9,则输出结果为多少?

 

分析:探索把ACBC的输入输出规律,把应用问题变更为等差数列和等比数列的数学问题。

     本题难度较大,而且与课本知识结合紧密。所以给学生充分的时间思考,实践,交流。

答案:(12n-1;(2) (3)

作业布置:1.复习整理讲过内容;

2.预习下节课内容,尝试探索下节课例题。

 

第五讲  探索探索可从美学角度考虑及探索须充分利用已有信息

教学目标:学会从美学角度考虑及充分利用已有信息探索解题方法。

教学方式:教师主讲,学生参与讨论。

教学要点:

1.                   探索法(七)探索可从美学角度考虑

13(2004年全国联赛题)设点O ABC内部,且有 , ABC的面积与 AOC的面积比为( 

A.2       B.        C.3       D.

分析:利用数学表达式中的“均衡美”,把向量OC的系数3拆成12,然后分别和前两个向量结合,即可提取系数。再运用加法的平行四边形法则,进一步探索。

答案:C

142003年北京市竞赛题)已知函数 ,记

,则 的值是_____

分析:利用“对称美”,探索 的和的关系,会有惊喜发现哦。

答案:2998.5

2.                   探索法(七)探索须充分利用已有信息

15(中国西部数学奥林匹克) 为方程 的两个根,令 n12,…。证明:对任意正整数n,有 .

分析:充分利用已知信息“ 为方程 的两个根”。法一。把两根代入方程,法二:用韦达定理。之后再进一步探索。

答案:略。

3. 探索也可以尝试“跟着感觉走”

    学生讨论,发表感想。

作业布置:1.复习整理讲过内容;

2.预习下节课内容,尝试探索下节课例题。

 

第六讲  解题尝试

教学目标:

学会从简单的情形入手及从考虑极端情形着手探索解题方法。

教学方式:学生独立思考,应用所学方法完成习题。

教学要点:

解题尝试

A

1.(山东省竞赛题)设等差数列的前四项的和为26,后四项的和为110,这个数列的所有各项的和为187,那么,这个数列的项数是(  

A.11    B.22         C.8      D.16

2.(湖南省竞赛题)若 ,则a的取值范围是(  

A.            B.

C.            D.

3.(安徽省竞赛题)一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形,另一个是边长为1的正三角形,那么,这个三棱锥的体积大小(  

A.有唯一确定的值               B.2个不同值

C.有三个不同值                 D.有三个以上不同值

4.(山东省竞赛题)已知 均为锐角, 。若设 ,则yx的函数关系式为(  

A.   

B.

C.          

D.

5.2007“南方杯”数学邀请赛)若ka是实数,则关于x的不等式 的解集为空集的充分必要条件是(     ).

A      B.     C.      D.

 

6.已知xyz为互不相等的实数,

,求证:

 

7.(IMO国家集训队试题)实数xyz满足xyz1 ,问 的最大值是什么?在z为何值时 取最大值?

 

8.(安徽省竞赛题)设 ,函数

1)若 ,求证:

2)求使函数 有最大值 a的值。

 

9.2003年北京市竞赛题)记min{a,b,c}a,,b,c中的最小值,若xy是任意正数, M= ,求M的最大值

 

10.(第28届俄罗斯数学奥林匹克题)

abc为正数,有abc3,证明

 

作业布置:1.继续完成“解题尝试”;

2.总结解题方法。

 

第七讲  交流“解题尝试”

教学目标:学会从简单的情形入手及从考虑极端情形着手探索解题方法。

教学方式:学生交流,教师讲解总结。

教学要点:

1. 核对答案

(参考答案1.A; 2.D; 3.C; 4.B; 5.D; 6.略;7.z=5最大值62

8.2-2 9. 10.略)

2. 学生交流讨论,各抒己见

3. 教师补充总结

作业布置:1.订正并整理“解题尝试”;

2.试着总结其他解题方法与解题思想。

 

第八讲  其他解题方法与解题思想的探究,交流.

教学目标:探究,交流其他解题方法与解题思想。布置考核作业

教学方式:学生参与讨论,教师布置考核作业

教学要点:

1. 学生探究,交流其他解题方法与解题思想。

2. 教师小结。

在数学奥赛中,解题方法不拘一格。题目往往不容易入手,也就是我们常说的“没思路”。这时就需要我们积极主动地对题目进行分析。比较常用的方法有探索法、化归法、转换法、设想法、构造法、数学归纳法、数形结合法等。

 

3. 布置考核作业。

编制或从书籍中选择12个题目,结合上课内容,分析其探索方法,写出详细解题过程,并对解题方法加以总结。

必须写清楚班级、姓名、号数。

 
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